Рассматриваются модели сложных систем создаваемые на основе обработки эмпирических данных. Показаны проблемы использования корреляционных методов для создания моделей. Предложено использовать композиционные модели, полученные посредством системной декомпозиции знакового корреляционного графа. Предложен метод нахождения частных моделей.
Аннотация. Рассматриваются модели сложных систем создаваемые на основе обработки эмпирических данных. Показаны проблемы использования корреляционных методов для создания моделей. Предложено использовать композиционные модели, полученные посредством системной декомпозиции знакового корреляционного графа. Предложен метод нахождения частных моделей.
Abstract. Models of complicated system created on base of empirical data are considered. It is pointed to problem of using correlation statistical methods for model building. It is proposed to use composition models obtained by means of system decomposition of correlation signed graph. Method of discovery of particular models is suggested.
Научно-обоснованный путь построения моделей сложных систем основан на анализе данных полученных в результате наблюдения за поведением системы в различных режимах ее функционирования. При анализе данных исследуются статистические зависимости между переменными признакового пространства. Типичные решения, основанные на корреляционных мерах, позволяют построить граф связей, где степень взаимной зависимости между признаками выражается коэффициентом парной корреляции. Данные могут состоять из наблюдений характеризующих качественно различные поведения системы. Задача состоит в том чтобы, используя структурную информацию в виде графа связей найти подмножества признаков, являющихся носителями областей с однородным поведением и определить типичные модели поведения системы в условиях части. Области релевантности моделей определяются в результате верификации их в таблице исходных данных. При таком подходе модель сложной системы строится на основе композиции частных моделей по областям релевантности.
2. Области противоречий
Контрастной формой проявления причинно-следственных противоречий является знаковый граф, полученный клиппированием парных связей к значениям +1 и –1 по некоторому порогу значимости. Незначимые связи при этом отбрасываются. Минимальный знаковый граф, позволяющий выразить противоречие, представляет собой замкнутый контур, состоящий из трех вершин (рис. 1). В данном графе при передаче по контуру положительное приращение переменной трансформируется в отрицательное приращение этой же переменной, т.е. контурный коэффициент передачи имеет значение -1, что физически трактуется как противоречие. Знаковый граф называется сбалансированным, если противоречия отсутствуют и не сбалансированным в противном случае (используется также терминология «согласованный» - «не согласованный» знаковый граф).
Каждое ребро знакового графа отражает взаимную зависимость двух системных переменных . Эта связь является двусторонней для внутренних переменных и односторонней для внешних воздействий.
На рис. 1 вершины соответствуют внутренним переменным, а вершина - внешнему воздействию. Эквивалентным описанием знакового графа является матрица связей (матрица смежности). Для графа, показанного на рис. 1 эта матрица имеет вид:
Рис. 1. Полная модель знакового треугольника
Элементы матрицы связей равны коэффициентам передачи между системными переменными. Матрица симметрична по отношению к главной диагонали, поскольку симметричны все внутренние связи. По графу можно построить также систему алгебраических уравнений, определяющих реакцию системы на внешние воздействия:
с системной матрицей
.
Системная матрица связана с клиппированной матрицей связей соотношением: , где - единичная матрица. Реакция системы на внешние воздействия может быть выражена в виде матричного уравнения:
,
где , . Уравнение имеет единственное решение относительно вектора , если определитель системной матрицы отличен от нуля. Нетрудно проверить, что для треугольника противоречий значение определителя равно нулю. При нулевом определителе реакция системы на внешние воздействия не определена. Таким образом, наличие противоречий в треугольнике свидетельствует о плохой обусловленности соответствующей алгебраической системы. Рассмотрим теперь условия балансировки и обусловленности для знаковых графов произвольной размерности.
3. Балансировка и системные определители знаковых графов
Согласно [1] граф сбалансирован, если все его циклы положительны. Мы ограничим наше рассмотрение знаковыми графами, структура которых разбивается на треугольники. Из анализа свойств определителей можно получить следующие утверждения:
Утверждение 1. Если все треугольники знакового графа являются противоречивыми, то определитель системной матрицы равен нулю.
Утверждение 2. Балансировка и обусловленность знакового графа не изменяться, если знак всех связей одной из вершин графа поменять на противоположный.
Утверждение 3. Если в полно связном графе все связи положительны, то системный определитель графа определяется выражением (это следует из диагонального разложения системной матрицы).
Утверждение 4. Если в полно связном знаковом графе существуют, по крайней мере, две вершины связанные отрицательными связями со всеми остальными вершинами графа, то граф не сбалансирован и определитель системной матрицы данного графа равен нулю.
Утверждение 5. Если в полно связном знаковом графе отрицательные связи образуют полно связный подграф, то исходный граф не сбалансирован и определитель его системной матрицы равен нулю.
Из приведенных утверждений следует, что наличие противоречивых треугольников в графе связей приводит к плохой обусловленности системной матрицы.
Противоречия в графе связей возникают, когда система данных объединяет неоднородные области, порожденные различными стереотипами поведения объекта наблюдения [2]. Поэтому вместо анализа полного графа связей предлагается в графе выделить не противоречивые области и построить частные модели для областей с однородным поведением сложной системы.
Таким образом, алгоритм построения частных моделей заключается в выделении подходящих связных сбалансированных подграфов графа связей. Следуя [2] каждую подходящую компоненту связности будем называть локальностью.
4. Модели локальностей
Клауза «подходящий подграф» требует дополнительных пояснений. Связный подграф характеризуется показателями вершинной и реберной связности, если эти значения равны единице, то достаточно удалить одну вершину или ребро, чтобы подграф распался на две компоненты. То есть подобный подграф обладает высокой чувствительностью к возможным погрешностям построения модели. Целесообразно выбрать такой способ построения подграфов, который обеспечивает достаточно высокие значения показателей связности.
Рис. 2. Тетраэдр связей
Подходящим вариантом построения локальностей может быть использование объемных фигур называемых топологическими политопами. Политоп — это подмножество топологического пространства, которое представимо в виде объединения конечного числа симплексов таких, что любые два симплекса либо вообще не имеют общей точки, либо они пересекаются только по целой грани какой-то размерности [3]. Пересечение и объединение конечного числа политопов представляет собой политоп. Все политопы являются триангулируемыми. В трехмерном пространстве симплексом максимальной размерности является тетраэдр (рис. 2). Для построения локальностей будем использовать политопы составленные из тетраэдров. Каждая вершина такого политопа в трехмерном пространстве, является, в то же время вершиной, по крайней мере, одного тетраэдра, поэтому значение реберной связности подграфа будет не менее трех. Если потребовать чтобы тетраэдры пресекались, по крайней мере, по одной грани (размерности 2), то уровень вершиной связности, также будет не менее трех. Каждая внутренняя точка политопа составленного из тетраэдров обладает окрестностью, изоморфной 3-мерному кубу, поэтому объемная фигура в целом является трехмерным кусочно-линейным многообразием.
Таким образом, по принятому соглашению граф модели согласованной локальности должен соответствовать некоторому политопу состоящему из сбалансированных тетраэдров. Идеализация модели заключается во временном игнорировании внутренних связей локальности существующих вне конструкции политопа.
Задача системной декомпозиции заключается в нахождении в полном графе локальностей, отвечающих модельному соглашению. Концепцией алгоритма локализации моделей является последовательное наращивание сложности модельных политопов. Базовым вариантом может быть звезда образованная множеством тетраэдров с общей гранью. Если в процессе анализа такая многовершинная структура обнаружена, то она отмечается как кандидат согласованной локальности.
Рис. 3Эталонная модель TriangStar
Рис. 4. Открытая локальность TriangStar
Данный вид модели и соответствующую локальность назовем TriangStar. Пример подобной локальности показан на рис. 3. Выделенный на рисунке треугольник (называемый также ядром локальности) является общим основанием для пяти тетраэдров. В таблице 2 приведены абсолютные значения системного определителя для модели TriangStar в зависимости от числа лучей звезды . Аналитическое выражение имеет вид (эта формула следует из обобщенного диагонального разложения определителя системной матрицы).
Таблица 1. Системные определители моделей локальностей
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
16
28
40
52
64
76
88
100
112
124
48
128
320
768
792
4096
9216
20480
45056
Построение многовершинных структур было связано с обособлением вершин тетраэдров и их связей с вершинами ядра. Обратное погружение выделенной структуры в исходный граф, приводит к появлению дополнительных связей, которые могут нарушать сбалансированность эталонной модели.
Подграф, который наследует структурную модель TriangStar и дополненный связями исходного графа определяет модель открытой локальности (UNION). На рис. 4 приведен пример открытой локальности TriangStar-UNION образованной полным набором положительных связей между вершинами звезды. В таблице 1 приведены значения системного определителя для открытой локальности данного вида.
Граф данного вида является полно связным, аналитические выражения для определителя следуют из Предложения 3 (с учетом соотношения ). Для построения частных моделей отбираются структуры TriangStar, которые сохраняют согласованность в открытой локальности. Индукцию усложнения моделей можно продолжить далее, например, объединив согласованные TriangStar так чтобы треугольники ядра, образовали тетраэдр.
5. Заключение
Сложные системы характеризуются неоднородным поведением, что приводит к невозможности непосредственного построения единой модели по эмпирическим данным. Системная декомпозиция данных позволяет преодолеть существующую проблему за счет мотивированного выделения областей однородного поведения системы. В каждой области однородности строится частная модель. Модель сложной системы рассматривается как композиция частных моделей, действующих в области релевантности.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Harary, F.: On the notion of balance of a signed graph. Michigan Mathematical Journal, 2, 143-146 (1953-54).
. Эта связь является двусторонней для внутренних переменных и односторонней для внешних воздействий.
соответствуют внутренним переменным, а вершина 
- внешнему воздействию. Эквивалентным описанием знакового графа является матрица связей (матрица смежности). Для графа, показанного на рис. 1 эта матрица имеет вид:
.
, где 
- единичная матрица. Реакция системы на внешние воздействия может быть выражена в виде матричного уравнения:
,
, 
. Уравнение имеет единственное решение относительно вектора 
, если определитель 
системной матрицы 
отличен от нуля. Нетрудно проверить, что для треугольника противоречий значение определителя равно нулю. При нулевом определителе реакция системы на внешние воздействия не определена. Таким образом, наличие противоречий в треугольнике свидетельствует о плохой обусловленности соответствующей алгебраической системы. Рассмотрим теперь условия балансировки и обусловленности для знаковых графов произвольной размерности.
(это следует из диагонального разложения системной матрицы).
для модели TriangStar в зависимости от числа лучей звезды 
. Аналитическое выражение имеет вид 
(эта формула следует из обобщенного диагонального разложения определителя системной матрицы).
). Для построения частных моделей отбираются структуры TriangStar, которые сохраняют согласованность в открытой локальности. Индукцию усложнения моделей можно продолжить далее, например, объединив согласованные TriangStar так чтобы треугольники ядра, образовали тетраэдр.